קיץ 2023 מועד ב – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2023 מועד ב – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

בעבור כל n טבעי הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי מתקיים:

A2 + A2² + … + A2ⁿ = A(1 − 12ⁿ)

A הוא פרמטר.

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

A2 + A2² + … + A2ⁿ = A(1 − 12ⁿ)

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: A2. אגף ימין:

A(1 − 12) = A2 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

A2 + … + A2^k = A(1 − 12^k)

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

A2 + A2² + … + A2ⁿ = A(1 − 12ⁿ)

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

A2 + … + A2^k + A2^{k + 1}

= A(1 − 12^{k + 1})

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= A(1 − 12^k) + A2^{k + 1}

נוציא A גורם משותף:

📐 הוצאת גורם משותף

= A(1 − 12^k + 12^{k + 1})

📐 הנחת האינדוקציה

A2 + … + A2^k = A(1 − 12^k)

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

A2 + A2² + … + A2ⁿ = A(1 − 12ⁿ)

= A(1 − 12^k + 12^{k + 1})

מכנה משותף 2^{k + 1}, כי 2^{k + 1} = 2 · 2^k:

📐 חוקי חזקות

= A(1 − 22^{k + 1} + 12^{k + 1})

= A(1 − 12^{k + 1}) ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא